El conjunto de los números reales, con las operaciones suma y producto tiene estructura de cuerpo. Esto quiere decir, entre otras cosas, que cualquier número real no nulo tiene inverso. En notación matemática esto lo escribimos así:
En general el inverso de aa, si a≠0a≠0, es 1a1a, ya que a⋅1a=aa=1a⋅1a=aa=1. El número 00 no tiene inverso ya que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. De aquí que la expresión numérica 1010, así tal cual, carezca de sentido.
Al inverso de un número real aa no nulo se le suele notar a−1a−1. Entonces tenemos:
a∈R−{0}⇒a⋅a−1=1a∈R−{0}⇒a⋅a−1=1
Al final de este artículo se definían las potencias de exponente natural y se demostraba, entre otras, la siguiente propiedad:
xn⋅xm=xn+m,∀m,n∈Nxn⋅xm=xn+m,∀m,n∈N
Si queremos que esta propiedad se conserve y teniendo en cuenta que, por definición, a1=aa1=a, tenemos:
a∈R−{0}⇒1=a⋅a−1=a1⋅a−1=a1+(−1)=a0a∈R−{0}⇒1=a⋅a−1=a1⋅a−1=a1+(−1)=a0
En conclusión, si aa es un número real no nulo, entonces a0=1a0=1. Por tanto, la expresión a0=1a0=1 es una consecuencia de que todo número real no nulo tiene inverso.
Las potencias de exponente negativo adquieren ahora todo su sentido. Recordemos que otra de las propiedades de las potencias es la siguiente:
(xn)m=xnm,∀m,n∈N(xn)m=xnm,∀m,n∈N
Entonces podemos escribir: a−n=(an)−1=1ana−n=(an)−1=1an
Entonces el significado de la expresión a−na−n es inverso del número real an an. Como se puede apreciar acabamos de probar la fórmula para las potencias de exponente negativo:
a−n=1ana−n=1an
Si la base es una fracción podemos escribir igualmente:
(pq)−n=1(pq)n=1pnqn=qnpn=(qp)n
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